دنباله یا اعداد فیبوناچی یکی از معروفترین و زیباترین دنبالههای ریاضی است که احتمالا نام آن را زیاد شنیدهاید.
آیا تابهحال به وجه اشتراک چهرهی خود با تخم مرغ، یا وجه شباهت آفتابپرست با آناناس فکر کردهاید؟ جهان هستی جای باشکوه و بینهایت پیچیدهای است که در آن میتوان بین عناصر بهظاهر نامربوط، رابطهای پیدا کرد. تکرار بیشمار الگوهای مشابه در طبیعت به شکلگیری سناریوهای مبهوتکنندهای انجامیده است که به کمک ریاضی بهراحتی قابل توضیح هستند.
به قول آرتور بنجامین، ریاضیدان معروف آمریکایی، افراد اغلب به سه دلیل ریاضی یاد میگیرند: برای انجام محاسبات، برای به کار بردن آن در حوزههای مختلف و برای الهام گرفتن از آن.
اعداد فیبوناچی در طبیعت به وفور پیدا می شوند.
ریاضی علم الگوها است و میتوان آن را برای تفکر منطقی، انتقادی و خلاقانه نیز یاد گرفت؛ اما متأسفانه وقتی دانش آموزی میپرسد هدف از آموختن ریاضی چیست، اغلب با جواب «چون در امتحان میآید» روبهرو میشوند.
اما چرا نخواهیم ریاضی را فقط به خاطر اینکه زیبا، سرگرمکننده یا هیجانانگیز است، یاد بگیریم؟ یک مدل ریاضی که هر سهی این ویژگیها را دارد، دنبالهی اعداد فیبوناچی (fibonacci) است؛ اما چرا این دنباله اینقدر معروف است؟ از دید محاسباتی، درک این دنباله بسیار آسان است: ۱ به اضافهی ۱ میشود ۲؛ ۲ به اضافهی ۱ میشود ۳؛ ۳ به اضافهی ۲ میشود ۵ و الی آخر.
اعداد فیبوناچی چیست
اما دنبالهی اعداد فیبوناچی دقیقا چیست و داستان آن از کجا شروع شد؟
دنبالهی اعداد فیبوناچی یکی از معروفترین دنبالههای ریاضی است که احتمالا نام آن را بهدفعات در جاهای مختلف، از جمله فیلم و سریال، کتاب و موسیقی و حتی دنیای اقتصاد، شنیده باشید. هر عدد در این دنباله از مجموع دو عدد قبلی آن به دست میآید؛ یعنی:
۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴٬ …
این دنباله به دلایلی که در ادامه بیشتر با آنها آشنا خواهید شد، «راز مخفی طبیعت» و «قانون جهانی طبیعت» نیز میگویند. این دنباله را میتوان تقریبا در ابعاد هر چیزی که در جهان است، از هرم بزرگ جیزه در مصر گرفته تا صدفها، صورت و اندام انسان و حتی کهکشانها مشاهده کرد؛ و به احتمال زیاد، هر چیزی که تاکنون دربارهی این دنباله میدانستید، اشتباه است.
منابع بسیاری ادعا میکنند دنبالهی اعداد فیبوناچی اولینبار توسط لئوناردو فیبوناچی «اختراع» شد. این ریاضیدان ایتالیایی که در سال ۱۱۷۰ میلادی در شهر پیزا متولد شد، ابتدا با نام لئوناردو دا پیزا شناخته میشد. تازه در قرن نوزدهم میلادی بود که تاریخدانان برای او اسم مستعار فیبوناچی (بهمعنی «پسر طایفهی بوناچی») را انتخاب کردند تا با فرد معروف دیگری به نام لئوناردو دا پیزا اشتباه گرفته نشود.
اما لئوناردو دنبالهی فیبوناچی را کشف نکرد؛ از این دنباله اولینبار در متون سانسکریت که از سیستم اعداد هندو-عربی استفاده میکردند، نام برده شده بود و این متون قرنها پیش از لئوناردو دا پیزا وجود داشتهاند.
پس ارتباط لئوناردو دا پیزا با دنبالهی فیبوناچی چیست؟ این ریاضیدان در سال ۱۲۰۲، کتاب قطور «Liber Abaci» را برای آموزش محاسبات ریاضی منتشر کرد. این کتاب که برای بازرگانان نوشته شده بود، از محاسبات هندو-عربی برای ردیابی سود، زیان و محاسبهی تراز باقیمانده وام استفاده کرده بود. لئوناردو جایی از کتاب، این دنباله را برای حل مسئلهای مربوط به زاد و ولد خرگوشها معرفی کرده بود. مسئله به این صورت است:
فرض کنید یک خرگوش نر و یک خرگوش ماده دارید. بعد از یک ماه، این دو خرگوش صاحب دو خرگوش نر و مادهی دیگر میشوند. ماه بعد، این خرگوشهای جدید هم دو خرگوش نر و مادهی دیگر به دنیا میآورند. سال بعد چند جفت خرگوش خواهید داشت؟
جواب این مسئله ۱۴۴ است. فرمولی که برای رسیدن به این عدد استفاده شد، همان دنبالهی فیبوناچی است. بعد از یک سال یا همان ۱۲ ماه، ۱۴۴ جفت خرگوش وجود خواهد داشت.
کتاب «Liber Abaci» برای اولینبار دنبالهی فیبوناچی را به دنیای غرب معرفی کرد؛ اما لئوناردو به جز چند پاراگراف کوتاه دربارهی زاد و ولد خرگوشها، هیچ جای دیگری دربارهی این دنباله صحبت نکرد. در واقع تا مدتها این دنباله به فراموشی سپرده شده بود تا اینکه در قرن نوزدهم، ریاضیدانها ویژگیهای بیشتری از این دنباله کشف کردند. در سال ۱۸۷۷، ادوارد لوکا، ریاضیدان فرانسوی، بهطور رسمی مسئلهی ریاضی خرگوشها را «دنبالهی فیبوناچی» نامید.
نسبت طلایی
نسبت طلایی (golden ratio) رابطهی ریاضی منحصربهفردی است که به الگوی فیبوناچی مرتبط است. دو عدد زمانی با یکدیگر نسبت طلایی دارند که نسبت مجموع این دو عدد (a+b) تقسیم بر عدد بزرگتر (a) مساوی نسبت عدد بزرگتر تقسیم بر عدد کوچکتر (a/b) باشد.
نسبت طلایی حدوداً برابر با ۱٫۶۱۸ است و با حرف یونانی فی (Φ) نشان داده میشود؛ اما رابطهی نسبت طلایی با دنبالهی فیبوناچی چیست؟
نسبت اعداد متوالی فیبوناچی (۲/۱، ۳/۲، ۵/۳ و ...) به مقدار نسبت طلایی نزدیک است. در واقع، هرچه اعداد فیبوناچی بزرگتر باشند، یا به عبارت دیگر هرچه در این دنباله به سمت بینهایت حرکت کنیم، نسبت آنها به ۱٫۶۱۸ یا همان عدد فی نزدیکتر میشود. از آنجایی که نسبت طلایی بهوفور در طبیعت یافت میشود، به آن «نسبت الهی» نیز میگویند.
الگوی دیگری که از دنبالهی فیبوناچی مشتق شده است و نمونههای بسیاری از آن در اطراف ما یافت میشود، مارپیچ طلایی (golden spiral) نام دارد که دور آن مستطیل طلایی شکل میگیرد. مارپیچ فیبوناچی یا طلایی مجموعهای از یک از چهارم دایرههای به هم متصل است که در داخل آرایشی از مربعهایی که ابعادشان از اعداد فیبوناچی پیروی میکنند، قرار گرفتهاند. مثلاً تخمههای گل آفتابگردان، غلافهای بذر میوهی درخت کاج، گلکلم و آناناس و حتی شکل برخی تارهای عنکبوت بهصورت مارپیچ فیبوناچی کنار هم قرار گرفتهاند.
کاربرد اعداد فیبوناچی
این سیستم بهوفور در طبیعت، از جمله شاخههای درختان، مولکولهای دیانای و حتی کهکشانها دیده میشود. نسبت طلایی و دنبالهی فیبوناچی در موسیقی نیز کاربرد دارد و حتی روش آهنگسازی خاصی به نام سیستم شیلینگر به استفاده از این دنباله اختصاص یافته است.
از این دنباله در معماری نیز استفاده میشود. معروفترین مثال نسبت طلایی در معماری هرم بزرگ جیزه در مصر است؛ محیط هرم تقسیم بر دو برابر ارتفاع عمودی آن نسبت طلایی به دست میدهد (۰٫۶۱۸ برابر پهنتر از ارتفاع آن).
اعداد فیبوناچی در طبیعت
امروزه، الگوهای مربوط به دامنهی فیبوناچی را میتوان از مقیاس خرد تا کلان و در سیستمهای بیولوژیکی تا اشیا بیجان مشاهده کرد. نسبت طلایی در تمام ساختارها و الگوهای موجود در جهان قابل مشاهده نیست؛ اما فراوانی آن بهحدی است که حائز اهمیت باشد. در ادامه به چند نمونه از اعداد فیبوناچی در طبیعت اشاره میکنیم:
گلبرگ های گل
تعداد گلبرگهای گلها همواره از دنبالهی فیبوناچی پیروی میکند. از نمونههای معروف میتوان به گل سوسن با سه گلبرگ، گل آلاله با پنج گلبرگ، کاسنی با ۲۱، گل دیزی با ۳۴ و همینطور گلهایی با ۵۵ یا ۸۹ گلبرگ اشاره کرد.
علت ظهور مقدار فی در تعداد گلبرگهای گل، چینش ایدهآل برگزیدهی فرایندهای داروینی است. هر گلبرگ با درجهی ۰٫۶۱۸۰۳۴ (از ۳۶۰ درجهی دایره) نسبت به گلبرگ کناری خود قرار گرفته تا در بهترین مکان برای دریافت نور خورشید و سایر عوامل قرار گیرد.
به همین ترتیب، مارپیچ طلایی در چینش تخمههای گل آفتابگردان و میوهی درخت کاج قابل مشاهده است.
شاخه های درخت
دنبالهی فیبوناچی در درختها از رشد تنه شروع میشود و سپس با قد کشیدن درخت، به شکل مارپیچ به سمت بیرون ادامه مییابد. نسبت طلایی در شاخههای درخت نیز قابل مشاهده است. تنه ابتدا به دو شاخه و بعد یکی از این دو شاخه خود به دو شاخهی دیگر منشعب میشود، درحالیکه که شاخهی دیگر بدون انشعاب باقی میماند. این روند به همین شکل ادامه پیدا میکند. سیستمهای ریشهای و حتی جلبکها نیز از این الگو پیروی میکنند.
کهکشان های مارپیچی
جای تعجب نیست که کهکشانهای مارپیچی نیز از الگوی آشنای فیبوناچی پیروی میکنند. کهکشانهای راه شیری، آندرومدا و M81 دارای چندین بازوی مارپیچی هستند که کاملا با مارپیچ فیبوناچی منطبق هستند.
چهره و اندام
صورت انسان یا غیر انسان مملو از نمونههایی از نسبت طلایی است. فاصلهی دهان و بینی با چشمها و پایین چانه هر کدام نسبت طلایی را رعایت کرده است. اگرچه بدن افراد با یکدیگر متفاوت است؛ اما میانگینها همواره به سمت عدد فی مایل هستند. حتی اینطور گفته شده است که هرچه تناسب اندام فرد به عدد فی نزدیکتر باشد، به چشم جذابتر میآید.
مثلاً برخی بر این باورند زیباترین لبخندها آنهایی هستند که در آن دندانهای جلویی به نسبت ۱٫۶۱۸ پهنتر از دندانهای کناری هستند که آنها هم به نسبت ۱٫۶۱۸ از دندانهای نیش پهنتر هستند. نظریهای وجود دارد که میگوید انسانها بهگونهای تکامل یافتهاند که از فرمهایی که از نسبت طلایی پیروی میکنند، بیشتر خوششان بیاید.