Massoud Dبه طور خلاصه، به نظر می‌رسد که مقالات موجود عمدتا بر مدل‌های مصرف - سرمایه‌گذاری با برخی از ویژگی‌های بالا متمرکز هستند: با محدودیت‌های سبد سهام و عدم قطعیت بازار و یا با محدودیت‌های مصرف و هزینه‌های استقراض. اگر چه بسیاری از نتایج مطلوب ریاضی در این مقالات بیان شده اند اما راه‌حل‌های صریح و ویژگی‌های راهبرد‌های بهینه به ندرت به جز در برخی موارد خاص وجود دارند. محدودیت‌های مصرف دستیابی به راه‌حل‌های صریح را دشوار می‌سازد و تقریبا تمام راه‌حل‌های صریح با محدودیت‌های مصرف در چارچوب افق بی نهایت هستند( ارجاعات ]6[ ،]19[ و ]27[ را مطالعه کنید).
در مقابل، مقاله حاضر به طور سیستماتیک راهبرد‌های مصرف سبد سهام محدود تحت عدم قطعیت مدل و هزینه‌های استقراض در یک افق محدود را مورد مطالعه قرار داده، و اثرات آن‌ها را بر راهبرد‌های بهینه تعیین می‌کند. در این تحقیق هدف رسیدن به راه‌حل‌ها و ویژگی‌های صریح راهبرد‌های بهینه است.
اگر چه راه‌حل‌های صریح تحت یک مجموعه دارایی مخاطره آمیز مشتق می‌شوند، اما روش ما می‌تواند به منظور مطالعه مجموعه دارایی‌های مخاطرآمیز چندگانه همانند ارجاع شماره ]23[ استفاده شود، و نتایج مشابه هنوز هم با شرایط پیچیده‌تر برقرار خواهند ماند.
این مقاله به صورت زیر سازماندهی شده‌است. بخش ۲ یک مدل بیشینه مطلوبیت استوار را با توجه به هزینه‌های استقراض و محدودیت‌های مصرف سبد سهام در دارایی‌های مخاطره آمیز چندگانه ارائه می‌دهد. بخش ۳ مساله ماکزیمم-مینیمم مربوطه را از طریق استدلال مارتینگیل حل می‌کند و راهبرد‌های مصرف سبد سهام بهینه و پارامترهای بازار بدترین حالت را از طریق راه‌حل‌های ODEs غیرخطی توصیف می‌کند. بخش ۴ راه‌حل‌های فرم بسته ی آن‌ها را در یک مجموعه دارایی مخاطره آمیز با مجموعه ای از پارامترهای نامعین مختلف بدست می‌آورد. بخش ۵ اثرات پارامترهای مختلف مدل بر راهبرد‌های بهینه و پارامترهای بدترین حالت را بررسی می‌کند. اثبات راه‌حل‌های صریح در "پیوست" آمده‌است.
۲. مدل بیشینه مطلوبیت
:///
